Mechanika

Je částí mechaniky, jejímž úkolem je popsat pohyb. Popisovat můžeme pohyb jednotlivých objektů, pohyb souboru objektů, pohyb tekutin a tak dále. V první části se ovšem převážně zaměřujeme na popis pohybu pevných těles.

Kinematika se nesnaží pohyb vysvětlit (proč se něco hýbe), to je podstatou dynamiky. Kinematika se jen ptá, jak se objekty pohybují prostorem:

Rovně?
Do zatáčky?
Stále stejně?
Čím dál tím rychleji?

V mechanice se pohybují především různé objekty, tzv. tělesa. Často je zjednodušujeme na hmotné body (neuvažujeme rozměry a rotaci tělesa, jen hmotnost).

Křivku vykreslující kudy pohyb procházel nazýváme trajektorie. Její délka se nazývá dráha.

Popisovat pohyb můžeme z několika úhlů pohledu:

Jak se na pohyb díváme?

Pohyb musíme popisovat vůči něčemu. Proto zavádíme vztažné soustavy, tedy body vůči kterým poměřujeme svět a změny v něm. Obvykle je vztažná soustava určena počátečním bodem a souřadnicovými osami. Z různých vztažných soustav bude stejný pohyb vypadat jinak:

Speciálním případem je inerciální vztažná soustava, která nezrychluje a nezatáčí (nepociťujeme v ní setrvačné síly jako např. v brzdícím autobuse). Inerciální soustavy se vůči sobě pohybují stále stejným směrem a stejně rychle.

Jak pohyb vypadá?

Podle tvaru trajektorie rozdělujeme pohyby na přímočaré (pohybuje se stále rovně) a křivočaré (zatáčí).

U těles také rozlišujeme, jestli se někam posouvá, nebo se točí. Nebo obojí. Porovnáním trajektorií jednotlivých bodů tělesa tedy rozlišíme pohyb posuvný (translační) a otáčivý (rotační), případně složený.

Jak pohyb probíhá?

Z tvaru trajektorie zjistíme kudy se někdo pohyboval, ale už ne jak rychle. Stejnou zatáčku na polní cestě může opsat šnek i auto. Veličinou, která tyto pohyby odlišuje, je rychlost. Značíme ji v a je rovna dráze dělené časem t. Je buď průměrná (tedy podíl dráhy a času za nějakou dlouhou dobu) nebo okamžitá (změny dráhy za malou změnu času).

Pokud je rychlost stále stejně velká, mluvíme o rovnoměrném pohybu. Pokud se mění, jde o pohyb nerovnoměrný.

Jaký je tedy pohyb?

Výše zmíněné vlastnosti pohybu se různě kombinují, můžeme mít posuvný pohyb rovnoměrný a přímočarý, posuvný pohyb nerovnoměrný a přímočarý, rovnoměrný otáčivý pohyb a tak dále.

Vztah mezi rovnoměrnou (nebo alespoň průměrnou) rychlostí v drahou s a časem pohybu t popisují vzorce:

v=\frac{s}{t}

s=v\cdot t

t=\frac{s}{v}

V jednoduchých případech pouze určíme správný vzorec a dosadíme.

U mnoha pohybů těles ovšem před dosazením musíme udělat něco navíc, např. převést správně jednotky nebo určit s ze změny poloh.

Konečně můžeme pomocí těchto vztahů také řešit vzájemný pohyb více těles.

Definice rychlosti v je dráha s za čas t. Matematicky zapsáno je to

v=\frac{s}{t}

Jde vlastně o rychlost průměrnou, ale v případě rovnoměrného pohybu i o okamžitou rychlost po celou dobu pohybu.

Můžeme počítat i s a t (vždy když známe zbývající dvě veličiny). Matematickou úpravou, resp. použitím vztahového trojúhelníku jsme odvodili vztahy pro dráhu

s=v\cdot t

a pro čas

t=\frac{s}{v}.

Ne vždy můžeme ihned dosadit do vzorců jako s=v\cdot t. Musíme totiž nejprve vyřešit drobné komplikace:

1. Jednotky nesedí. Musíme převést na stejné jednotky, nebo alespoň tak abychom nekombinovali různé časové škály (např km/h se sekundami)

2. Dráhy/časy složené z více částí. Celková dráha pohybu s je prostě součtem drah všech úseků s=s_1+s_2+\cdots. Totéž platí pro čas t=t_1+t_2+\cdots.

Pro rychlost to ale neplatí! Průměrná rychlost více úseků dohromady se musí počítat jako v=\frac{s_1+s_2+\cdots}{t_1+t_2+\cdots}.

3. Místo dráhy/času známe jen hodnoty na začátku a na konci. Neznáme dráhu přímo, ale známe polohy na trati na začátku a na konci pohybu. Podobně může být potřeba určit dobu pohybu t jako rozdíl časů (na hodinách) v okamžiku startu a cíle.

Pokud se pohybuje více těles, můžeme zkoumat jejich vzájemný pohyb.

Vzájemná rychlost dvou těles (těleso 1 a těleso 2) je rozdílem jejich rychlostí. Pokud budeme jednotlivé rychlosti značit indexy, můžeme pro vzájemnou rychlost použít v.

v=v_1-v_2

(pokud je důležitý směr a pokud rozlišujeme, zda jde o rychlost 1. tělesa vůči 2. nebo naopak, používá se také v_{12} resp v_{21})

Pokud se k sobě tělesa přibližují, určuje vzorec t=\frac{s}{v} čas setkání – dosazujeme do něj právě vzájemnou rychlost a počáteční vzdálenost těles (i pro tu používáme přímo písmeno s protože pro dráhy jednotlivých těles pravděpodobně použijeme s_1 a s_2).

Dráhy jednotlivých těles a místo setkání je možné poté dopočítat, když dosadíme do vzorce pohybu jednotlivých těles vypočtený čas setkání t (např. s_1=v_1\cdot t, nebo s_2=v_2\cdot t).

Pohyb dělíme na rovnoměrný a nerovnoměrný podle toho, jestli se mění velikost rychlosti. U tohoto dělení naopak nezáleží na tom, jestli se mění směr pohybu (směr rychlosti).

• rovnoměrný pohyb = velikost rychlosti je stále stejná, zrychlení je nulové, nebo kolmé na směr pohybu (pohyb po kružnici)

• nerovnoměrný pohyb = velikost rychlosti se mění, zrychlení není nulové

Pokud se rychlost pohybu mění, charakterizuje tyto změny veličina jménem zrychlení. Značíme jej a a je to změna rychlosti za změnu času.

a=\frac{\Delta v}{ \Delta t }

Jednotkou zrychlení je \mathrm{m/s^2}.

Zejména v kinematice můžeme zrychlení brát jako změnu velikosti rychlosti. Pokud je stále stejné, jde o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo pohyb rovnoměrně zpomalený.

Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:

v=v_0+a\cdot t nebo jednodušeji v=a\cdot t (pokud je počáteční rychlost v_0 nulová)

Vztah pro dráhu je pak:

s=v_0t+\frac{1}{2}a t^2 nebo jednodušeji s=\frac{1}{2}a t^2 (pokud je počáteční rychlost v_0 nulová)

V případě rovnoměrně zpomaleného pohybu (rychlost se rovnoměrně snižuje), používáme obvykle vztahy v=v_0-a\cdot t pro rychlost a s=v_0t-\frac{1}{2}a t^2 pro dráhu.
Zjednodušené vztahy (v_0=0) v tomto případě nemají smysl, protože musíme mít z čeho zpomalovat.

Přesnější definice zrychlení je změna vektoru rychlosti za změnu času.

\vec a=\frac{\Delta \vec v}{ \Delta \vec t }

Zrychlení je podle této definice nenulové i u rovnoměrného pohybu po kružnici a každého křivočarého pohybu (mění se směr vektoru rychlosti).

Podívejme se na graf rovnoměrného pohybu:

Plocha pod křivkou rychlosti má obsah v\cdot t (obsah obdélníka) což je přesně rovno dráze pohybu rovnoměrného. To platí obecně – obsah plochy pod křivkou rychlosti v grafu v/t je roven dráze.

U rovnoměrně zrychleného pohybu (konstantní a) nejde o obdélník, plocha je ale stejná jako plocha obdélníka o výšce průměrné rychlosti \bar v (plocha △ a △ je totiž stejná).

Dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu počítáme v různých situacích:

Pohyb začíná z klidu

Pro rychlost platí v=a\cdot t (přímá úměra). Dráha (obsah pod křivkou) je rovna:

s=\frac{1}{2}at^2

Těleso se už pohybuje rychlostí v_0 a zrychluje

S nenulovou v_0 máme rychlost v=v_0+a\cdot t. Pak je dráha rovna součtu:

s=v_0\cdot t + \frac{1}{2}at^2

I to můžeme vyčíst z grafu (celková plocha = součet ▯ v_0\cdot t a △ \frac{1}{2}at^2):

Těleso se už pohybuje rychlostí v_0 a zpomaluje

Platí totéž co v předchozím bodě, jen obsah △ odečítáme.

s=v_0\cdot t -\frac{1}{2}at^2

Grafy pohybu jsou nejčastěji 2-D grafy, jak je známe z matematiky, které zobrazují vývoj nějaké veličiny popisující pohyb (y-ová, svislá osa) v závislosti na čase (x-ová, vodorovná osa).

Zobrazované veličiny jsou typicky poloha (na trati nebo dráze, obvykle nejde o skutečnou 3-D polohu), uražená dráha, nebo rychlost. Ale mohli bychom zobrazovat i např. zrychlení nebo jiné, obskurnější veličiny. Jde vlastně o záznam „měření“ dané veličiny v čase.

Z grafu pohybu můžeme:

• Zjistit typ grafu, o který se jedná (zaznamenaná veličina, počet těles, …).
• Získat základní informace o pohybu podle tvaru křivky v grafech. Jak v grafech polohy/dráhy, tak rychlosti.
• Odečítat hodnoty v grafech polohy i rychlosti v konkrétních bodech pohybu (např. v jakém čase byla rychlost nejvyšší).
• Vypočítat další veličiny (například rychlost z grafu dráhy nebo dráhu z grafu rychlosti).

Rozlišujeme dva nejčastější typy grafů. Ty které zobrazují prostorovou veličinu (poloha, dráha) a ty které zobrazují rychlost. Poznáme to podle toho jak je označena svislá osa grafu. Kromě toho mohou existovat graf i jiných veličin (např. zrychlení), ale většinou je nepoužíváme.

Přitom jeden graf může zachycovat pohyb jednoho, ale i více těles (pak se v něm nachází více křivek, nebo sad bodů).

Grafy polohy (zde značíme x) a uražené dráhy (zde značíme s) jsou často vzájemně zaměnitelné, někdy ale ne. Dráha totiž narůstá i když se otočíme a začneme se po trase vracet. Poloha ne. Dráha navíc obvykle začíná na nule, což poloha nemusí. Ilustrují to následující grafy stejného pohybu dvou těles – jednou pro polohu, podruhé pro dráhu.

Platí, že čím strmější je křivka, tím rychlejší je pohyb. To znamená několik základních pouček pro kvalitativní pochopení zobrazeného pohybu:

• zlom křivky = náhlá změna rychlosti
• ohýbání křivky = plynulá změna rychlosti
• přímé úseky = rovnoměrný pohyb
• vodorovná část křivky = těleso stojí na místě

Pro odečítání nějaké hodnoty z grafu existuje několik základních úkolů:

1. Máme daný bod na křivce a máme zjistit jeho souřadnici (časovou nebo polohovou/dráhovou).

Jednoduše z tohoto bodu vedeme kolmici na osu žádané veličiny. Poloha průsečíku pak odpovídá hledané hodnotě.

Nejčastěji když má samotný bod křivky nějaký význam, například zastavení tělesa (křivka se tam láme do vodorovna). Často jej tedy musíme nejprve identifikovat (můžete procvičit i zde)

2. Pro daný čas hledáme polohu/dráhu tělesa.

Vedeme z tohoto časového bodu kolmici. Hledáme průsečík s křivkou pohybu. Z něj vedeme kolmici na osu polohy podobně jako v bodu 1.

3. Pro určitou polohu/dráhu hledáme čas, kdy se na ni těleso nachází.

Postup je obdobný jako v bodě 2, jen začínáme ze svislé osy.

Ne vždy ale existuje řešení (průsečík s křivkou). Pak můžeme říct, že taková situace nenastane nikdy.

Grafy rychlosti zobrazují velikost rychlosti v čase. Nenesou informaci o poloze, byť uraženou dráhu z nich zjistit můžeme (čím větší plocha pod křivkou, tím větší uražená dráha). Z tvaru a polohy křivky můžeme určit některé kvalitativní vlastnosti pohybu:

• vodorovná část křivky na nule = těleso stojí na místě
• vodorovná část křivky = rovnoměrný pohyb
• přímé úseky (šikmo) = rovnoměrně zrychlený/zpomalený pohyb
• zakřivené úseky = nerovnoměrně zrychlený/zpomalený pohyb

Pro odečítání z grafů rychlosti platí to stejné jako pro odečítání údajů z grafů polohy a dráhy. Jen na svislé ose odečítáme rychlosti.

Řešíme tedy stejné tři úlohy – hledáme buď souřadnice bodu (který často musíme identifikovat), hodnotu rychlosti v daném čase, nebo čas, kdy má rychlost určitou hodnotu.

I z grafů dráhy/polohy můžeme určit rychlost a z grafů rychlosti dráhu. Ne vždy je to jednoduché udělat přesně, ale alespoň odhadnout je můžeme vždy.

Výpočet rychlosti z grafu polohy/dráhy

Můžeme určovat průměrnou rychlost celého pohybu (v=s/t) nebo nějakého jeho úseku (v=\Delta s/ \Delta t). Symbol \Delta značí rozdíl hodnot, např. \Delta t = t_\mathrm{konec}-t_\mathrm{zacatek}.
Odečteme údaje na osách pro oba krajní body úseku a dosadíme do výpočtu:

v=\frac{s_\mathrm{konec}-s_\mathrm{zacatek}}{t_\mathrm{konec}-t_\mathrm{zacatek}}

Výpočet dráhy z grafu rychlosti

V grafu rychlosti tělesa je dráha vlastně obsahem plochy pod křivkou rychlosti. Obecně je to těžké. Někdy jsou ale pod křivkou jednoduché tvary, jejichž obsah známe. Jindy obsah můžeme alespoň přibližně odhadnout.

Obdélníky:

Obsah obdélníka je strana krát strana, zde tedy vlastně s=v\cdot t.

Pozn.: Pravoúhlý trojúhelník má obsah jako polovina obdélníka.

Postup použitelný i pro složitější tvary (minimálně odhad) využívá mřížky grafu. Spočítáme obsah jednoho čtverce mřížky a pak vynásobíme počtem čtverců pod křivkou (nemusí být celé číslo).

Vrhy a pády jsou speciálním případem pohybu rovnoměrně zrychleného. Popisují pohyb těles, kterými házíme kolem sebe nebo které padají.

Platí jen tam kde můžeme zanedbat odpor vzduchu (pád hopskulky z okna je ok, ale pád kroupy z mraku nebo listu papíru ze stolu ne) a v omezeném prostoru (ve kterém se téměř nemění zemská přitažlivost, ne pro hod ze země do stratosféry).

• Základem je umět určit o jaký typ vrhu se jedná (volný pád, vrh svislý, vrh vodorovný, vrh šikmý)
• Poté můžeme určit některé vlastnosti takového vrhu.
• Jednotlivým typům se pak můžeme věnovat detailněji, s výpočty a vzorci – aktuálně zde najdeme procvičování volného pádu

Klasická mechanika popisuje 4 vrhy/pády. Volný pád, vrh svislý, vrh vodorovný a vrh šikmý.

Rozpoznáme je podle trajektorie a rychlosti v:

Trajektorie

• vrh svislý a volný pád → rovná (část přímky)
• vrh vodorovný a vrh šikmý → zakřivená (část paraboly)

U vodorovného vrhu a volného pádu navíc trajektorie začíná nejvyšším bodem.

Rychlost

• volný pád → počáteční úplně nulová, pak svisle směrem dolů
• vrh svislý → počáteční svislý směr, v průběhu svislý směr nebo nulová
• vrh vodorovný → počáteční vodorovný směr, pak vždy šikmo dolů
• vrh šikmý → počáteční šikmý směr, v průběhu i vodorovný (na vrcholu)

V průběhu všech vrhů se vodorovná složka rychlosti (obvykle značená v_\mathrm x) nemění, svislá (v_\mathrm y) ale ano.

Matematicky: vodorovný směr rychlosti znamená v_\mathrm y = 0, svislý směr rychlosti znamená v_\mathrm x=0.

Několik veličin a vlastností, které se pojí s vrhy:

Obecné vlastnosti

• zanedbáváme odpor vzduchu (jinak by byly výpočty mnohem komplikovanější)
• trajektorií je část paraboly nebo úsečka (u vrhu svislého a volného pádu)
• pro popis volíme obvykle dvě souřadnice x (vodorovná) a y (svislá), vrh totiž probíhá v rovině

Veličiny

Rychlost na počátku značíme v_0, v průběhu vrhu pak v. Rychlost dopadu pak v_\mathrm d.

• můžeme je rozložit na vodorovnou a svislou složku (v_\mathrm{0x}, v_\mathrm{0y}, v_\mathrm{x}, v_\mathrm{y}, v_\mathrm{dx} nebo v_\mathrm{dy})
• vodorovná složka se nemění (v_\mathrm{x}=v_\mathrm{0x})
• u vrhu šikmého jsou rychlosti ve stejných výškách stejně velké a svírají stejný úhel s vodorovným směrem (jen v_y se otočí směrem dolů)

Polohu tělesa popisují právě souřadnice x a y

• protože je v_\mathrm{x}=v_\mathrm{0x}, probíhá v souřadnici x rovnoměrný pohyb
• souřadnice y se mění nerovnoměrně – jde vlastně o rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g

Čas dopadu se značí obvykle t_\mathrm d a jde o dobu od začátku vrhu do dopadu. Závisí vždy na v_\mathrm{0y} a často na počáteční svislé poloze y_0 (respektive výšce nad zemí h).

Volný pád znamená, že těleso padá z klidu z počáteční nenulové výšky. Protože je v_0 nula a protože v_\mathrm x se u vrhů nemění, bude v_\mathrm x vždy nulová. Pak není rozdíl mezi svislou rychlostí v_\mathrm y a celkovou rychlostí v, dále tedy mluvíme jen o v.

Pohyb tedy probíhá pouze ve svislém směru a popisuje jej jen souřadnice y. Počáteční svislou polohu y_0 většinou značíme také jako výšku pádu h.

Jde o rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g a počáteční rychlostí v_\mathrm {0}=0 (viz výše). V čase t je tedy rychlost rovna g\cdot t a dráha rovna \frac{1}{2}gt^2.

Většinou nás zajímá čas dopadu t_\mathrm d. Můžeme jej vyjádřit z výšky h, protože čase t_\mathrm d musí být dráha rovna právě celé této výšce. Platí tedy rovnice h=\frac{1}{2}gt_\mathrm{d}^2 a úpravou platí i:

t_\mathrm{d}=\sqrt{\frac{2h}{g}}

Nyní můžeme z výšky h vyjádřit i rychlost dopadu v_\mathrm {d}=g\cdot t_\mathrm d. Pokud totiž za t_\mathrm d dosadíme \sqrt{\frac{2h}{g}}, dostaneme v_\mathrm {d}=g\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}, po úpravě:

v_\mathrm {d}=\sqrt{2hg}

Z nepřímočarých pohybů je nejdůležitější rovnoměrný pohyb po kružnici. Popisuje situace jako točení na kolotoči, prádlo v bubnu ždímačky nebo otáčení planety Země. Přibližně odpovídá i řadě složitějších situací (např. pohyb v trolejbusu v zatáčce).

Tedy trajektorií je kružnice. Rychlost v je tečnou k trajektorii (i proto se nazývá obvodová) a má konstantní velikost, mění se ale směr. Zrychlení (které právě popisuje změny směru rychlosti) směřuje do středu kružnice. Říká se mu proto dostředivé a značíme jej a_\mathrm d. Má velikost:

a_\mathrm d=\frac{v^2}{r}

Často nás nezajímá, jak rychle se pohybujeme, ale jak rychle se otáčíme dokola (úhel za jednotku času). Proto definujeme úhlovou rychlost \omega. Pro rovnoměrný pohyb po kružnici je \omega konstantní a úhel otočení \varphi je přímo úměrný času.

Platí vztahy jako \omega=\frac{v}{r} resp. v=\omega\cdot r. Po dosazení za v tak můžeme dostat alternativní vztah pro a_\mathrm d:

a_\mathrm d=\omega^2\cdot r

Dynamika je část mechaniky, která se snaží vysvětlit, co způsobuje pohyb (přesněji jeho změny).

Základním pojmem je síla, což je působení okolí na těleso. Má velikost (jak moc působí) a směr (kterým směrem mě například táhne). Síly působící na stejné těleso často sčítáme (neboli skládáme) do jedné výsledné síly. Souvislost výsledných sil s pohybem popisují Newtonovy pohybové zákony.

Síla může mít různý původ (mechanický tah provazu, neviditelná přitažlivá síla magnetu, …), rozeznáváme tedy různé typy sil. Některé konkrétní typy sil, kterými se zabýváme samostatně:

• Ve vesmíru počítáme s gravitačními silami.
• Na Zemi je gravitace doplněna odstředivou silou otáčení země na tíhovou sílu. Definujeme taky tzv. tíhu.
• Stlačování těles (například opěrky sedadla našimi zády) popisuje tlaková síla a s ní související veličina tlak.
• Pokud po sobě dva povrchy klouzají dochází k smykovému tření, které můžeme popsat třecí silou.

Pokud se nezajímáme jen o posuvný pohyb těles, mohou mít síly i otáčivé účinky. To popisuje veličina moment síly, pomocí které můžeme otáčení těles i vypočítat.

Kromě sil definujeme v dynamice taky veličinu zvanou hybnost, která se hodí zejména pro popis soustavy více těles.

Skládání, neboli sčítání sil je nejčastěji potřeba, když zjišťujeme výslednou sílu působící na těleso. Protože síla je vektorová veličina, skládání sil je vlastně sčítáním vektorů. Proto následující odstavce platí i pro jakoukoliv jinou vektorovou veličinu (např. hybnost, moment síly, …).

U sčítání více sil (F_1, F_2, F_3, …) často výslednou sílu označujeme bez indexu (F), v příkladech níže ji ale pro jednoznačnost označíme indexem „celk“.

Síly ležící v jedné přímce

Nejjednodušší je, když leží všechny síly v jedné přímce (např. všechny míří vodorovně doprava nebo doleva):

1. Zvolíme směr (jeden z těch dvou).

2. Přičítáme velikosti sil mířících zvoleným směrem, a odečítáme ty opačné.

3. Vyjde nám velikost (délka) výslednice. Pokud je kladná, míří námi zvoleným směrem, pokud ne, míří na druhou stranu.

Dvě síly neležící v jedné přímce (grafické řešení)

1. Síly narýsujeme tak, aby vycházely z jednoho bodu/působiště

2. Doplníme na rovnoběžník. Výsledkem je jeho úhlopříčka vycházející ze společného počátku sil

Pokud jsou na sebe síly kolmé, jde o úhlopříčku obdélníka s délkou podle Pythagorovy věty F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}.

Více sil neležících v jedné přímce (grafické řešení)

1. Vektory narýsujeme tak, aby vycházely z jednoho bodu/působiště

2. Doplňováním na rovnoběžník sčítáme postupně jednotlivé vektory dokud nezbyde jeden výsledný vektor (pořadí je na nás, nejjednodušší je ale sdružovat rovnoběžné síly a následně ty na sebe kolmé)

Souřadnicové řešení

1. Musíme zvolit nějakou kartézskou soustavu souřadnic, například ve směru jedné ze sčítaných sil.

2. Určíme jednotlivé složky všech vektorů sil v této soustavě

3. Sečteme zvlášť stejné složky všech sil

4. Výsledkem je vektor výsledné síly o souřadnicích které nám vyšly

Velikost je podle Pythagorovy věty odmocnina z druhých mocnin souřadnic (zde odmocnina z 5^2+(−2)^2, tedy \sqrt{29}).

Tipy

• Pokud jsou na sebe dvě síly kolmé, určíme délku výsledné síly i se znalostí úhlopříček obdélníka (Pythagorova věta, F_\mathrm{celk}=\sqrt{F_1^2+F_2^2})

• Alternativně můžeme grafické skládání sil pojmout tak, že síly připojujeme jednu za druhou jako na řetěz (viz obrázek). Je to sice názornější, ale rýsovalo by se to mnohem hůř.

Newtonovy zákony jsou pravidla, která popisují vztah pohyb tělesa – síly na těleso působící. Jsou tři:

• První Newtonův zákon: Zákon setrvačnosti – vysvětlí, proč se musíme v autobuse držet, když stojíme.
• Druhý Newtonův zákon: Zákon síly – ukazuje přímou úměru mezi součtem sil působících na těleso a jeho zrychlováním.
• Třetí Newtonův zákon: Zákon akce a reakce – aneb, když nás táhne gravitace k zemi, my táhneme zeměkouli stejnou silou nahoru.

Také známý jako první Newtonův zákon. Jeho původní znění je v latině, překlad je přibližně následující:

Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném pohybu v daném směru, není-li nuceno vnějšími silami tento stav změnit.

„V daném směru“ znamená především rovnoměrný přímočarý pohyb (konstantní vektor rychlosti \vec v). Může mít ale i další význam (viz Zajímavosti).

Těleso není „…nuceno vnějšími silami tento stav změnit…“ právě tehdy, když je výslednice (vektorový součet všech sil působících na těleso), nulová.

\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3+\dots=\vec 0 \;\;\;\implies\;\;\; \vec v=\mathrm{konst.}

Tento zákon platí jen v inerciálních soustavách.

Důsledky

• Pokud je výslednice sil nulová, vektor rychlosti \vec v se nemění. Ani jeho velikost, ani jeho směr.
• Pohyb za nepřítomnosti sil sám nezastaví.
• I za přítomnosti sil může být pohyb/klid tělesa neměnný (pokud je jejich výslednice nulová).

Zajímavosti

• Původní znění je „Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.“

• Výzkum původních Newtonových děl ukazuje , že první zákon zahrnuje i setrvačnost otáčivého pohybu a tedy není jen speciálním případem druhého Newtonova zákona¹. Příklady spojenými s rotací se nicméně cvičení nezabývají.

Také je znám jako druhý Newtonův zákon, je jedním z nejdůležitějších zákonů, které popisují dynamiku pohybu (proč objekty mění svůj pohyb).

Matematicky je vyjádřen jako rovnice mezi výslednicí sil působících na těleso (\vec F), jeho zrychlením (\vec a) a setrvačností tělesa vyjádřené jeho hmotností (m).

\vec F=m\cdot \vec a

Rovnice napsaná bez znázornění vektorových veličin (F=m\cdot a) je také častá, zejména když není směr zrychlení důležitý (např. vše probíhá na přímce).

Jiné tvary

Pomocí matematických úprav můžeme dojít k dalším tvarům:

\vec a=\frac{\vec F}{m}

Tento tvar je fyzikálně asi nejlogičtější, protože zrychlení, které je z našeho pohledu následek (levá strana rovnice), je důsledkem příčin tohoto pohybu (přítomnost sil \vec F, setrvačnost tělesa kvůli hmotnosti m).

m=\frac{F}{a}

Protože je hmotnost skalár, je podílem velikostí obou vektorů, což můžeme zapsat právě jako \frac{F}{a} (bez šipek) nebo uzavřením vektorů do svislých čar m=\frac{\lvert\vec F\rvert}{\lvert\vec a\rvert}.

Zákon akce a reakce, neboli třetí Newtonův zákon popisuje vzájemné působení (interakci) dvou těles.

Definice

Každé působení prvního tělesa na druhé (silou \vec F_{12}), neboli akce, vyvolává stejně velkou, opačně orientovanou reakci působení druhého tělesa na první (\vec F_{21}).

Matematicky to můžeme vyjádřit jako \vec F_{12}=-\vec F_{21}.

Taková dvojice sil vypadá následovně:

Vlastnosti

Ačkoliv jsou síly opačně orientované a stejně velké, jejich výslednice není nulová. Působí totiž každá na jiné těleso, nemůžeme je tedy sčítat.

Akce i reakce na ni probíhají okamžitě (alespoň v Newtonovském pojetí času), společně vznikají a společně zanikají. Nelze tedy určit, která je která.

Síly, které pozorujeme kolem nás, mají různý původ a hodí se umět je rozlišovat.

V mechanice se setkáme s kontaktními silami, které se objeví jen při kontaktu dvou těles/látek. Dělíme je na normálové (kolmo k povrchu v místě kontaktu) a tečné (podél). Mezi normálové patří zejména síly tahu a tlaku (víceméně všechny spoje a kontaktní plochy těles). Tečné jsou pak různé síly odporu prostředí během pohybu (třecí síla, odpor větru, …), bez kterých bychom naše auta nemohli ani rozjet, ani zastavit.

Na dálku (bezdotykově) pak působí gravitační síla mířící do těžiště druhého tělesa (např. do středu Země). Mimo klasickou mechaniku se setkáme s dalšími dalekodosahovými bezdotykovými silami – elektrickou mezi elektrickými náboji (např. elektrostatickou na nabitých baloncích) nebo magnetickou mezi magnety (objevuje se ale i tam, kde proudí elektrický proud).

Speciální název mají i některé součty sil. Například pod vodou je na těleso zespodu větší tlaková síla než shora. Součet tlakových sil na toto těleso, jej tedy nadlehčuje – vztlaková síla. Zemská přitažlivost je u nás zase zmenšována odstředivou silou rotace Země. Součet, který vnímáme, tedy nazýváme tíhovou silou.

Gravitační působení mezi dvěma tělesy popisuje podle Newtona gravitační síla F_g:

F_g=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}

kde G je gravitační konstanta (často se také značí \kappa), m_1 a m_2 jsou hmotnosti těles a r je vzdálenost jejich středů hmotnosti (těžišť). Používáme ji většinou ve vesmíru, kde jsou vzdálenosti mnohem větší než rozměry těles, takže často neuděláme velkou chybu když za r bereme vzdálenost mezi předměty.

Gravitační síly jsou vždy přitažlivé a jde o síly akce a reakce (vždy vznikají dvě, obě stejně velké opačně orientované).

Definujeme i gravitační zrychlení a_g. Na rozdíl od gravitační síly není závislé na obou hmotnostech – např. zrychlení způsobené tělesem 2 je podle druhého Newtonova zákona a_g=F_g/m_1.

Tedy po dosazení do F_g je a_g=\kappa\frac{m_2}{r^2}.

Protože stejně velké gravitační síly těles 1 a 2 dělíme různými hmotnostmi, nejsou gravitační zrychlení stejně velká.

Gravitační konstanta \kappa má hodnotu 6,67⋅10⁻¹¹ m³s⁻²kg⁻¹.

Tíhová síla

Pro popis dynamiky pohybu na zemi a u země nepoužíváme přímo gravitační sílu F_g, protože to úplně nevychází. Nacházíme se totiž na rotující (Země)kouli a v naší vztažné soustavě musíme započítat odstředivou sílu.

Tento součet (gravitační a odstředivé síly) označujeme jako tíhovou sílu F_G. Podobně máme místo gravitačního zrychlení a_g tíhové zrychlení g. Působištěm tíhové síly je těžiště tělesa (stejně jako u gravitační síly).

Tíha

Ani tíhová síla není ale vždy rovna velikosti síly, jakou tlačí např. naše nohy na podlahu pod námi.

Proto zavádíme tíhu G. Jde v podstatě o tlakovou sílu na podložku (způsobenou tíhovou silou). Působištěm tíhy je místo kontaktu s podložkou. Rozdíl ve velikosti mezi tíhou a tíhovou silou poznáme u soustav zrychlujících ve svislém směru.

Definice

Tlak (značíme p) je veličina popisující deformační (ne pohybové) účinky síly na těleso. Je definován pomocí tlakové síly \vec F působící kolmo na určitou plochu S.

p = \frac{F}{S}

Úpravou rovnic (nebo pomocí vztahového trojúhelníku níže) můžeme odvodit další vztahy:

F = p \cdot S

S = \frac{F}{p}

Jednotky

Jednotkou je (jak ze vztahu p = F/S vyplývá) newton na metr čtvereční (N/m²). Tato jednotka dostala také vlastní název – pascal.

Typicky se setkáváme se silami v jednotkách až stovkách newtonů působícími na plochy mnohem menší než je metr čtvereční. Proto se kolem nás setkáváme nejčastěji s tlaky v tisících, ne-li milionech pascalů.

Poznámka: Ne vždy lze jednoduše znázornit tlakovou sílu s působištěm v místě doteku (např. více končetin). Proto v některých příkladech používáme k ilustraci i tíhovou sílu s působištěm v těžišti. Má totiž stejnou velikost jako tlaková síla, kterou vyvolává.

Mezi dvěma tělesy, která jsou v kontaktu, působí různé síly. Jednou skupinou těchto sil je působení mezi jejich povrchy, pokud jsou v přímém kontaktu (doteku).

Tyto síly jsou mikroskopické (slabé vazby mezi nejbližšími atomy) i makroskopické (nerovnosti které do sebe zapadají) a mají většinou hlavní vliv na pohyb jednoho tělesa po druhém. Pokud se tělesa po sobě sunou (nevalí), říkáme účinkům takových sil smykové tření (sunutí=smýkání).

Sílu, která směřuje proti směru pohybu (nebo proti směru, ve kterém se o pohyb snažíme), nazýváme třecí silou F_t. Tato třecí síla záleží na tlakové síle F_N, kterou proti sobě povrchy působí, a na tom, jak dobře po sobě povrchy umí klouzat. To pro danou dvojici materiálů vyjadřuje experimentální konstanta koeficientu smykového tření f.

Smykové tření dělíme na klidové (statické) a smykové tření v pohybu (dynamické).

Klidové tření

Probíhá, dokud ještě nedochází ke smýkání, i když se jej nějaká síla snaží vyvolat. Například jde o:

• auto zabrzděné v kopci
• sešit ležící na křivém stole
• skříň, kterou se snažíme posunout, ale nemůžeme s ní ani hnout

Třecí síla je pak stejně velká jako výslednice sil, které se pokoušejí vyvolat pohyb. Maximální klidová třecí síla je vyjádřena z F_N a f jako

F_t=f\cdot F_N

pokud tuto hodnotu ostatní síly překonají, těleso se rozpohybuje.

Smykové tření v pohybu

Funguje jako brzda působící proti směru pohybu. Jde například o:

• dítě klouzající po skluzavce
• tužku píšící na papír
• koleno drásající se o asfalt
• nebo i ten sešit, když se jej pokusíme položit na příliš nakloněný povrch

Tření v pohybu je o něco slabší, než maximální klidové tření. Výpočet F_t=f\cdot F_N platí i zde, ale koeficient f je v pohybu nižší. Např. pneumatika ve smyku nebude mít f=0{,}72 ale jen f=0{,}65. Často se tedy i označují odlišně – například f_0 v klidu a f v pohybu.

Mezi dvěma tělesy, která jsou v kontaktu, působí různé síly. Jednou skupinou těchto sil je působení mezi jejich povrchy, pokud jsou v přímém kontaktu (doteku).

Když se dvě tělesa po sobě sunou dochází ke smykovému tření (sunutí=smýkání). Vzniká tzv. třecí síla namířená proti směru pohybu (nebo proti směru, ve kterém se o pohyb snažíme). Záleží na tlakové síle a vlastnostech povrchů obou materiálů (hlavně nerovnosti a jak do sebe zapadají).

Jak po sobě umí daná dvojice materiálů klouzat vyjadřuje experimentální konstanta, tzv. koeficient smykového tření (čím nižší, tím lepší klouzání).

Smykové tření dělíme na klidové (statické) a smykové tření v pohybu (dynamické).

Klidové tření

Probíhá, dokud jsou tělesa vzájemně v klidu a ještě nedochází ke smýkání (i když se jej nějaká síla snaží vyvolat). Třecí síla je tím, co rozpohybování brání. Například jde o:

• auto zabrzděné v kopci
• sešit ležící na křivém stole
• skříň, kterou se snažíme posunout, ale nemůžeme s ní ani hnout

Třecí síla je pak rovna silám, které se pokoušejí vyvolat vzájemný pohyb. Má ale svoji horní hranici. Pokud je překročena, tělesa se začnou smýkat a přesouváme se do kategorie smykového tření v pohybu.

Smykové tření v pohybu

Setkáme se s ním, když se po sobě tělesa pohybují. Funguje jako brzda působící proti směru pohybu. Jde například o:

• dítě klouzající po skluzavce
• tužku píšící na papír
• koleno drásající se o asfalt
• nebo i ten sešit, když se jej pokusíme položit na příliš nakloněný povrch

Hybnost je vektorová fyzikální veličina, kterou značíme \vec p (její velikost je p) a která je definovaná poměrně jednoduše – jako součin rychlosti tělesa a jeho hmotnosti. Jednotkou je tedy součin jednotek obou veličin – kg⋅m/s.

Matematicky hybnost zapisujeme takto:

\vec p=m\cdot \vec v.

Protože jde o vektorovou veličinu, musíme za změnu hybnosti považovat nejen její zmenšení/zvětšení, ale i změnu jejího směru (tedy směru rychlosti).

Na první pohled je zavedení takové veličiny zbytečné (pouze násobek rychlosti). Je ale důležitá pro popis soustavy více těles. Můžeme určit celkovou hybnost soustavy – součet hybností jednotlivých těles (vektorový součet, viz obrázek).

Matematicky zapsáno:

\vec p = \vec p_1+\vec p_2+\vec p_3+\cdots

Celková hybnost těles izolované soustavy se nemění, ať se mezi nimi děje cokoliv (srážky, tření, gravitační přitahování, magnetické síly, …). Říká se tomu zákon zachování hybnosti.

Působení síly na těleso může být posuvné a otáčivé. Zatímco posuvné účinky síly (\vec F) popisuje druhý Newtonův zákon, otáčivé účinky sil vyjadřuje tzv. moment síly.

Když fotbalista kopne do míče, míč se nejen rozletí ale také (často) začne rotovat.

Moment síly (značíme \vec M) je vektorová veličina. Čím má moment síly větší velikost, tím rychleji roztáčí těleso. Základní jednotkou momentu síly je jeden newtonmetr (Nm).

Velikost

Velikost momentu síly se počítá jako součin velikosti síly F a ramene síly r_\perp.

M=r_\perp \cdot F

Rameno síly není vždy vzdálenost síly od osy otáčení. Je to vlastně kolmá vzdálenost osy otáčení od přímky, ve které leží síla F. Lépe je to pochopitelné z obrázku 1. Zde jej značíme jako r_\perp (a vzdálenost od osy jako obyčejné r). Je to proto, že se v různých učebnicích značení liší (r, d, a, …).

Případně lze použít i ekvivalentního vztahu M=r F \sin (\alpha), kde \alpha je úhel mezi \vec F a \vec r.

Směr

Moment síly je kolmý na sílu i na rameno síly. Jeho směr se dá zjistit pomocí pravidla pravé ruky.

Protože je moment síly závislý na ose otáčení, znamená to, že jedna síla může mít různé momenty vůči různým osám (například vůči přednímu a zadnímu kolu bicyklu).

Energii vnímáme jako míru schopnosti něco udělat. Stejně tak i ve fyzice – energie tělesa je definovaná jako jeho schopnost konat práci. Energie může mít různé formy a obecně se neztrácí, jen přeměňuje do jiných forem (její množství se zachovává).

• V mechanice se nejčastěji setkáme s energií pohybu nebo polohy, jinak řečeno kinetickou a potenciální.
• Součet kinetické a potenciální energie tělesa označujeme jako mechanickou energii tělesa.
• Když se přeměňují jen potenciální a kinetická energie tělesa nebo více těles mezi sebou, jde o zákon zachování mechanické energie.

Tělesa, která mají uloženou energii (např. pohybu), mohou vykonávat nějaké činnosti:

• Množství spotřebované (přeměněné) energie při vykonání úkolu odpovídá práci.
• Pokud konání práce trvalo nějakou dobu, můžeme určit jak rychle práce probíhala – rychlost výkonu práce je výkon.
• Ne vždy se všechna energie přemění na to co chceme (např. u žárovky se kromě svícení přemění spousta energie na teplo). Poměr mezi výkonem, který chceme a dodávaným výkonem (příkonem) je účinnost.

Mechanickou energii dělíme na dvě části. Potenciální (polohovou) E_\mathrm p a kinetickou (pohybovou) E_\mathrm k.

Potenciální energie

Je v homogenním tíhovém poli Země úměrná výšce nad zemí h podle vzorce:

E_\mathrm p=mgh

Není jednoznačná. Záleží na definici nulové výšky (obvykle úroveň podlahy/země). Např. 0,5kg polštář může ze stejného okraje balkonu spadnout:

• dovnitř balkonu (pak h\approx 1\,\mathrm m a E_\mathrm p\approx 5\,\mathrm J)

• ven přes okraj a padat 4 patra dolů (pak dává smysl definovat nulovou výšku až na chodníku a tím pádem je h\approx 13\,\mathrm m s E_\mathrm p\approx 65\,\mathrm J).

Kinetická energie

Pro hmotný bod (nebo nerotující těleso) je úměrná druhé mocnině rychlosti:

E_\mathrm k=\frac{1}{2}mv^2

V klidu je tedy nulová. Protože se zvedá s druhou mocninou rychlosti, znamená to, že vůči rychlosti nejde o přímou úměru:

• rychlost v se zvýší na 2násobek → E_\mathrm k se zvýší na 2²násobek, tedy 4krát
• rychlost v se zvýší na 5násobek→ E_\mathrm k se zvýší na 5²násobek, tedy 25krát
• rychlost v klesne na 1/2 → E_\mathrm k klesne na 1/2²násobek, tedy na 1/4

Vůči hmotnosti ale o přímou úměru jde:

• hmotnost m se zvýší na 3násobek → E_\mathrm k vzroste na 3násobek
• hmotnost m klesne na 1/10 → E_\mathrm k klesne na 1/10

Takže jak se změní E_\mathrm k, když hmotnost klesne na třetinu, ale rychlost vzroste dvakrát? Musíme ji vynásobit součinem 1/3 krát 2². Tedy vzroste na \frac{4}{3}E_\mathrm k.

Když těleso rotuje má tato kinetická energie ještě jednu složku \frac{1}{2}J\omega^2, tou se zde ale nezabýváme, často ji totiž můžeme zanedbat.

Mechanická energie tělesa

Je rovna součtu kinetické a potenciální energie (E_\mathrm k a E_\mathrm p) tělesa. Značíme ji obvykle pouze jako E (pokud nepotřebujeme rozlišovat i jiné formy energie nebo další tělesa).

E=E_\mathrm k+E_\mathrm p

Mechanická energie soustavy těles

Celkovou mechanickou energií soustavy těles je obyčejný součet mechanických energií jednotlivých těles. Mechanické energie jednotlivých těles píšeme s indexem tělesa (E_\mathrm {1}, E_\mathrm {2},…). Celkovou mechanickou energii pak bez indexu jen jako E.

E=E_\mathrm 1+E_\mathrm 2 +\cdots

Pokud rozepíšeme mechanické energie jednotlivých těles (např. E_1=E_\mathrm {k,1}+E_\mathrm {p,1}) může to vypadat také jako

E=E_\mathrm {k,1}+E_\mathrm {p,1}+E_\mathrm {k,2}+E_\mathrm {p,2}+\cdots

Když se mechanická energie nepřeměňuje na jiné formy (např. na tepelnou energii třením), nebo když je tato přeměna zanedbatelná, můžeme použít zákon zachování mechanické energie (ZZME). Ten říká, že se mechanická energie v čase nemění (např. během pohybu, pružných srážek, …).

Jedno těleso

Pro jedno těleso to můžeme zapsat jako

E_\mathrm p+E_\mathrm k=\mathrm{konst.}

Takže o kolik se jedna složka energie zmenší, o to musí druhá vzrůst. Nejčastěji to můžeme využít u vrhů či pohybu tělesa po nakloněné rovině (bez tření).

Dvě a více těles

Pro izolované soustavy dvou a více těles platí, že se nemění celková mechanická energie. Například pro dvě tělesa to můžeme zapsat jako.

E_1+E_2=\mathrm{konst.}

nebo

E_\mathrm {p,1}+E_\mathrm {k,1}+E_\mathrm {p,2}+E_\mathrm {k,2}=\mathrm{konst.}

Mechanické energie jednotlivých těles se měnit mohou (např. po srážkách, vzájemným silovým působením). Setkáme se s ním u pružných srážek (např. kulečníkové koule) nebo pohybů vesmírných soustav.

Práce (značíme W) je forma přenosu energie, proto má také stejnou jednotku, Joule.

V klasické mechanice se zabýváme především prací vykonanou působením síly na těleso po nějaké dráze. Práci ale koná jen ta část síly F, která je ve směru pohybu. Pro posun jedním směrem o s tedy můžeme psát:

W=F_\parallel\cdot s

Pokud síla směřuje stejným směrem jako pohyb je to prostý součin W=F\cdot s

Pokud síla směřuje opačným směrem než pohyb, je práce záporná (W=-F\cdot s).

Pokud je síla kolmá na směr pohybu, je práce nulová.

Veličina výkon v mechanice popisuje, jak rychle je konána práce W. Je definován doslova jako množství práce (W) za jednotku času (t). Značíme jej P, jeho jednotkou je watt (W).

Matematicky můžeme věty výše zapsat:

P=\frac{W}{t}

Ze vzorce výše můžeme odvodit i vztahy pro práci W=P\cdot t a čas t=\frac{W}{P}.

Čím větší je výkon, tím rychleji je práce konána (víc joulů práce za sekundu). U člověka odpovídá tomu, jak rychle se snažíme vykonat nějaký úkol, i když jej nemůžeme úplně ztotožnit s námahou (kvůli funkci kostry a svalů se namáháme i tehdy, když jen něco držíme a fyzikální práci prakticky nekonáme).

Protože se obvykle dozvíme jen množství práce za nějakou (delší) dobu, získáme takto průměrný výkon spíš než okamžitý.

Zde se procvičuje jen výkon spojený s mechanickou prací, existují ale formy spojené i s jinými přeměnami energie (elektrický výkon, tepelný výkon, …). Toho mechanického dokáže člověk snadno vyvinout i stovky wattů W. Vysavač třeba 1000 W. A auto třeba 100 kW.

Pokud za práci dosadíme práci nějaké tažné síly F na dráze s, dostaneme pro výkon nakonec vztah P=F\cdot v. Tomu se věnujeme v samostatném cvičení Výkon síly konající práci.

Pokud je výkon P je roven práci W dělené časem t. Můžeme ale za práci dosadit konkrétně. Třeba práci síly během pohybu po určité dráze, tedy W=F_\parallel \cdot s. (pro další text předpokládejme, že je síla F leží ve směru pohybu, tedy místo F_\parallel \cdot s budeme psát přímo F\cdot s).

Dosadíme do P=\frac{W}{t}:

P=\frac{F\cdot s}{t}

Jenže s/t (dráha za čas) je definice rychlosti v. Proto je výkon takové síly roven:

P=F\cdot v

Tedy výkon je součinem síly pohonu a rychlosti. Může být jinak značena (např F_1, F_\mathrm{motoru}, …). Nejde tedy automaticky o výslednici sil.

• Autíčko je poháněno vpřed silou 20 N a jede 2 m/s . Výkon pohonu je 20 krát 2 wattů. Tedy 40 W.
• Saně táhneme vpřed silou 15 N, brzdí nás tření 10 N a jdeme rychlostí 1 m/s . Výkon tažné síly je 15 krát 1 wattů (odporová síla nás nezajímá). Tedy 15 W.

Tento vzorec snadno upravíme na vzorce pro velikost síly F=\frac{P}{v} nebo rychlosti v=\frac{P}{F}.

• Cyklista dává do šlapátek výkon 100 W a jede rychlostí 10 m/s. Podle F=\frac{P}{v} tedy pohání kolo silou 100/10 newtonů. Tedy 10 N.

Zajímavější jsou ale jeho důsledky. Například spousta motorů má konstantní výkon (nebo konstantní maximální výkon). Podle P=F\cdot v musí být pak konstantní i součin F\cdot v. Takže při zvýšení rychlosti bude hnací síla motoru se stálým výkonem klesat. Třeba i do té míry, že odporové síly pohybu se jí vyrovnají a výslednice sil bude nulová, nebo dokonce bude mít opačný směr.

Druhá výhoda vztahu P=F\cdot v je, že pokud dosadíme okamžitou rychlost v dostáváme jako výsledek okamžitý výkon. To s prací obvykle uváděnou za nějakou dobu a časovým intervalem nešlo (získávali jsme jen průměrný výkon za tento čas).

Účinnost je číslo od 0 do 1 (popř. od 0 % do 100 %), které vyjadřuje, jakou část dodávaného výkonu dokáže spotřebič využít k vykonávání své funkce. Skutečná účinnost nemůže být vyšší než 100 % (takové zařízení by vyrábělo energii z ničeho – perpetuum mobile).

Účinnost značíme řeckým písmenem η (éta). Je bezrozměrná (jednotkou je 1).

Dodaný výkon označujeme jako příkon a značíme P_0. Využitý výkon označujeme prostě jako výkon (spotřebiče) a značíme P.

Matematicky zapíšeme účinnost jako \eta = \frac{P}{P_0}.

Úpravou odvodíme také vztahy pro výpočty výkonu P=\eta\cdot P_0 a příkonu P_0 = \frac{P}{\eta}.

Princip páky je jedním z nejpraktičtějších využití momentu síly. Páka nám usnadňuje některé věci, na které bychom normálně neměli dostatečnou sílu, například rozlousknout ořech.

Páka a síly

Mějme těleso, které se může otáčet kolem nějaké osy nebo opěrného bodu (kleště, houpačka, zahradní kolečka). Sílu působící na jednom místě F_1 (např. tíhu nákladu) můžeme vyrovnávat druhou silou F_2 a držet páku v rovnováze. Síly působí ve vzdálenostech od osy r_1 a r_2 a nemusí být stejně velké.

V rovnováze je poměr velikostí sil opačný než poměr jejich ramen. Zde procvičíme jednodušší případ, kdy jsou síly kolmé na úsečky r_1 a r_2. Pak je ramenem síly přímo vzdálenost od osy. Pak platí, že v rovnováze je poměr velikostí sil opačný než poměr jejich vzdáleností od osy.

F_1:F_2=r_2:r_1

Pozn.: Ve cvičeních je grafika sil pouze ilustrační – délka šipek neodpovídá velikosti sil.

Páka a hmotnosti

Když nepočítáme se silami, ale s hmotnostmi, platí pro rovnováhu obdobný vztah.

m_1:m_2=r_2:r_1

Příklad: Na houpačce

Kdo musí na houpačce sedět víc u středu, aby se mohli pohodlně houpat? Maminka nebo holčička?

• Rovnováha (a snadné houpání) nastane, když jsou vzdálenosti v opačném poměru než hmotnosti (m_1:m_2=r_2:r_1).
• Holčička má menší hmotnost.
• Holčička tedy musí mít větší vzdálenost od středu.
• Blíže ke středu si tedy bude muset sednou maminka.

Síly a hmotnosti dohromady

Pokud kombinujeme hmotnost a síly, musíme hmotnosti převést na tíhové síly. Každý kg odpovídá síle asi 10 N. Bedna o 3 kg, tedy bude působit silou 30 N. Člověk s 85 kg pak silou 850 N.

Druh páky

Pokud působí všechny síly na jedné straně od osy otáčení jde o jednozvratnou páku (osa otáčení je pak obvykle na kraji, např. pinzeta, trakař). Pokud působíme silami na opačných stranách od osy otáčení, jde o dvojzvratnou páku (např. kleště, nůžky, houpačka).

Kladka je v podstatě upevněné nebo zavěšené kolečko, které pomocí lanka nese nějaký náklad. Systém kladek se nazývá kladkostroj. Kladky dělíme na pevné (1) a volné (2).

Pevná kladka se nemůže při zatáhnutí za lano hýbat. Volná se naopak bude pohybovat nahoru a dolů podle toho, jak se lanko, které ji nese, zkracuje či prodlužuje.

Kladky a kladkostroje fungují podobně jako páky (tedy umožňují unést těžký náklad pomocí malé síly). Navíc ale přidávají přenos směru síly. Tedy (otočením lanka přes kolečko) umožňují např. zvedat kyblík pomocí síly směřující dolů. Nebo šikmo.

Pevná kladka

Otáčí se na ose v pevné konstrukci, nebo je osa zavěšena na laně, které má neměnnou délku.

Kolečko kladky je vlastně rovnoramenná páka. Obě vzdálenosti od osy jsou stejné a proto je velikost síly na obou stranách kolečka v rovnováze stejná. Pevná kladka tedy pouze přenáší směr síly po laně.

Volná kladka

Kladka zavěšená na pohyblivém laně funguje také jako páka, takže síly, které ji z obou stran táhnou nahoru, musí být stejné. Zároveň ale v rovnováze musí viset ve vzduchu a nepadat. Součet těchto sil tedy musí být stejný jako tíha, kterou kladka nese na své ose (aby výsledná síla byla 0).

Každá volná kladka tedy zmenšuje sílu, kterou musíme za jeden konec lanka tahat, na polovinu.

Zároveň ale pro zvednutí závaží na volné kladce o určitou výšku taháme dvojnásobnou délku lana (protože se musí zkrátit lano na obou stranách kolečka).

Kladkostroj

Je kombinace více kladek. Pokud rozložíme síly zátěže na volných kladkách, můžeme potřebnou sílu zmenšit i mnohonásobně.

Příklad: Závaží v kladkostroji

Důležitou roli v mechanice kapalin a plynů hraje tlak. Obecně tento tlak můžeme rozdělit na

1. tlak vyvolaný (gravitační) tíhou samotné tekutiny (hydrostatický tlak u kapalin a atmosférický tlak u plynů)

2. tlak vyvolaný působením vnější síly na tekutinu v uzavřené nádobě (popisuje Pascalův zákon).

Celkový, nebo také absolutní tlak je pak součtem těchto dílčích tlaků.

1. Tlak vyvolaný tíhou tekutiny

Pokud něco neseme na hlavě, například těžký klobouk, cítíme jak na nás působí jeho tíha (neseme jej). Pokud si ale stoupneme my na klobouk (nezkoušejte!), jeho tíhu necítíme.

Podobně působí na tělesa ponořená v tekutině i tíha této tekutiny. A stejně jako v analogii s kloboukem je rozhodující jen ta část tekutiny, která se nachází nad tělesem. Projevem takového působení je tedy tlak tekutiny, který bude tím větší čím hlouběji je těleso ponořeno (tlačí větší sloupec tekutiny).

2. Tlak vyvolaný působením vnější síly

Je určen silou F a plochou S (například pístu), na kterou tato síla působí. Přenáší se do celého objemu kapaliny a je v celém tomto objemu stejný.

Toho využívají hydraulická zařízení, která fungují podobně jako jednoduché stroje. Pomocí různě velkých pístů převádíme sílu, takže například dokážeme sami zvednout auto (hydraulický zvedák).

U kapalin je projevem jejího tíhového působení hydrostatický tlak. Jeho působením na plochu je hydrostatická tlaková síla.

Hydrostatický tlak značíme p_\mathrm h a závisí na hloubce pod hladinou h, přitažlivosti planety (tíhové zrychlení g) a na tom, o jak těžkou kapalinu jde (hustota \rho). Je to přímo součin:

p_\mathrm h=h\rho g

Hlavní rozdíl vůči tlaku vyvolanému vnější silou je ten, že není v celém objemu kapaliny stejný (roste s hloubkou).

Podle známé definice tlaku jako síly na plochu (p=F/S) můžeme odvodit i vzorec pro sílu vyvolanou hydrostatickým tlakem (působící na plochu S).

Do vzorce F=p\cdot S stačí jen dosadit hydrostatický tlak p_\mathrm h:

F= S h\rho g

Základní znění

Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou. Její velikost se rovná velikosti tíhy kapaliny stejného objemu, jako je objem ponořené části tělesa.

Platí jak pro kapaliny, tak pro plyny. Velikost vztlakové síly (F_\mathrm{vz}) je v plynech výrazně menší než v kapalinách kvůli jejich nižším hustotám.

F_{\mathrm{vz}} = V_{\mathrm{pod}} \cdot \rho_{\mathrm K} \cdot g

kde je g velikost tíhového zrychlení, V_{\mathrm {pod}} objem ponořené části tělesa a \rho_{\mathrm K} hustota kapaliny (případně plynu).

Těleso plovoucí po vodní hladině

Pro těleso plovoucí po hladině lze odvodit vztah mezi hustotami tělesa a kapaliny:

\frac{V_{\mathrm {pod}}}{V_{\mathrm {nad}} + V_{\mathrm {pod}}} = \frac{\rho_{\mathrm T}}{\rho_{\mathrm K}}

(\rho_{\mathrm T} je hustota tělesa, \rho_{\mathrm K} je hustota kapaliny, V_{\mathrm {pod}} je objem ponořené části tělesa a V_{\mathrm {nad}} + V_{\mathrm {pod}} = V je celkový objem tělesa.)

Příklady a využití Archimédova zákona

Archimédův zákon se uplatňuje v plynném prostředí, ale zejména v kapalném prostředí. Díky Archimédovu zákonu létají pouťové balonky i vzducholodě, na moři se nepotopí lodě, ponorky a ryby mohou ovlivňovat svůj pohyb ve vertikálním směru.

Pro tíhové působení plynů naší (nebo jiné) atmosféry definujeme atmosférický tlak. Princip je podobný jako u hydrostatického tlaku. I atmosférický tlak závisí na přitažlivosti (tíhovém zrychlení g), výšce atmosféry a její hustotě. Nemůžeme ale jednoduše použít stejný vzorec jako pro hydrostatický tlak, protože hustota plynu \rho není konstantní, výška atmosféry není jasně ohraničená a dokonce i g není v 60km výšce stejné jako u hladiny moře.

Platí alespoň, že čím výše se nacházíme, tím nižší atmosférický tlak tam bude (menší část vzduchového sloupce nad námi). Rozdíly se ale projeví až na větších výškových rozdílech, i kvůli malé hustotě vzduchu \rho\approx 1{,}2\,\mathrm{kg/m^3}.

U hladiny moře počítáme s tlakem kolem 100 000 Pa. Standardní hodnota je stanovena na 101 325 Pa. Znamená to také, že podle F=p\cdot S nám na 1 m² kůže působí síla 101 325 N. Naštěstí stejná síla působí i zevnitř těla (např. plíce), takže nejsme slisováni do malých masových kuliček.

Kromě pascalů se používají jednotky jako bar (1 bar = 100 000 Pa), atmosféra (1 atm. = 101 325 Pa) Často se atmosférický tlak také uvádí v neobvyklém násobku –⁠ hektopascalech (hPa).

Rozdíly v atmosférickém tlaku z velké části tvoří počasí (tlakové výše a níže, přesun vzduchu mezi nimi a vznik větru).

U proudění tekutin definujeme tzv. objemový průtok Q_V. Je to objem tekutiny, který proteče trubkou za jednotku času. Jednotkou je tedy m³/s a platí:

Q_V=\frac{V}{t}

Objem V je ale roven součinu průřezu trubice S a posunu kapaliny o dráhu s. Po dosazení máme Q_V=\frac{S\cdot s}{t}.

Víme přitom, že \frac{s}{t} je klasická definice rychlosti, tedy i rychlosti proudění v. Pak můžeme průtok zapsat ekvivalentní rovnicí:

Q_V=S\cdot v

Protože jsou kapaliny nestlačitelné, musí být průtok Q_V v uzavřeném plném potrubí všude stejný (jinak by se někde musela hromadit).

Pokud tedy porovnáme dvě místa (Q_{V{,}1}=Q_{V{,}2}) a dosadíme za jednotlivé průtoky, vznikne známý vzorec rovnice kontinuity:

S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2

Bernoulliho rovnice popisuje souvislost mezi tlakem p v kapalině (o hustotě \rho) a rychlostí jejího proudění v. Podél jedné proudnice platí:

\frac{1}{2}\rho v^2+p = \mathrm{konst.}

Pro dvě místa na téže proudnici tedy platí (pro konstantní hustotu):

\frac{1}{2}\rho v_1^2+p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2+p_2

Pro jednoduchost obvykle definujeme Bernoulliho rovnici pro vodorovnou uzavřenou trubku.

Bernoulliho rovnice vlastně říká, že zvýšením rychlosti proudění poklesne tlak. Tento princip platí i pro libovolné neturbulentní proudění kapaliny nebo plynu. Matematický vzorec sice v takovém případě neplatí přesně, ale jako odhad se hodí.

Tohoto principu se využívá v řadě případů, kde chceme vůči okolnímu prostředí vytvořit podtlak (fixírka, některé typy vývěv, profil křídla letadel).

Pomocí Bernoulliho rovnice (\frac{1}{2}\rho v_1^2+p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2+p_2) můžeme odvodit rychlost tryskání vody z (malého) otvoru v nějaké nádobě.

Zevnitř (index 1) je rychlost prakticky nulová a vně (index 2) je zase nulový tlak (pokud od obou stran odečteme atmosférický tlak). Po dosazení těchto nul do rovnice výše dostaneme p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2.

Tlak p_1 je vlastně hydrostatický tlak v nádobě (h\rho g) a rychlost zůstala jen jedna, nemusíme ji tedy indexovat. Máme h\rho g=\frac{1}{2}\rho v^2, z čehož vyjádříme rychlost:

v = \sqrt{2 h g}

Způsoby deformace tělesa

• tahem – dvojice sil, směřují ven z tělesa, leží na jedné přímce (těleso se natahuje):
• tlakem – dvojice sil, směřují do tělesa, leží na jedné přímce (těleso se stlačí):
• smykem – dvojice sil opačných směrů, leží na různých přímkách (těleso se zkosí):

• ohybem – dvě síly působící jedním směrem, třetí síla v opačném směru, na různých přímkách (těleso se prohne):

• kroucením – dvě dvojice sil, otáčejí těleso v různých místech opačnými směry (těleso se zkroutí):

Normálové napětí \sigma_\mathrm{n}

Popisuje napětí v materiálu. Definujeme jej jako podíl síly F a průřezu tělesa S, na které síla působí.

\sigma_\mathrm{n} = \frac{F}{S}

V přeneseném významu odpovídá \sigma_\mathrm{n} tlaku, což naznačuje i pravá strana vzorce (shodná s obecnou definicí tlaku). I jednotkou je tedy pascal.

Hookův zákon

Když se deformací těleso prodlouží (nebo zkrátí), můžeme tu změnu popsat pomocí bezrozměrné veličiny relativní prodloužení \varepsilon. Tedy kolikanásobně se těleso prodlouží. Matematicky je to změna délky \Delta l děleno původní délka l_0 tělesa:

\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}.

Hookův zákon udává, že normálové napětí \sigma_\mathrm{n} je přímo úměrné tomuto relativnímu prodloužení. Tedy:

\sigma_\mathrm{n} = E\cdot\varepsilon

Konstanta úměrnosti E je tzv. Youngův modul pružnosti (jednotka pascal). Hookův zákon ale platí jen pro menší normálová napětí (po mez úměrnosti \sigma_\mathrm{u}).

Křivka deformace

Deformace pevné látky popisuje tzv. křivka deformace na křivce se nachází několik charakteristických bodů a intervalů

• 0B – pružná deformace (\sigma_\mathrm{u} je mez platnosti Hookova zákona a \sigma_\mathrm{E} mez pružnosti)
• BC – nepružná deformace (\sigma_\mathrm{k} je mez kluzu)
• CD – tečení materiálu
• DE – zpevnění
• oblast za E – těleso již nedrží pohromadě (\sigma_\mathrm{p} je mez pevnosti)

Vlnění si představíme intuitivně podle vln na vodě. Obecně je to kmitání (nějaké veličiny), které se šíří do prostoru.

Dělíme jej podle směrů šíření a výchylky:

• podélné – výchylka je rovnoběžná se směrem šíření (např. zvukové vlny, zhušťování a ředění)
• příčné – výchylka je kolmá na směr šíření (např. struna na kytaře, vypadají tak i vlny na vodě)
• ani jedno – výchylka je vůči směru šíření orientovaná libovolně (skutečné vlny na vodě)

Vlny mají stejně jako kmity frekvenci f (kolikrát za sekundu jedním místem prokmitnou) a periodu T (čas, po kterém se začne vlna opakovat). Platí:

f\cdot T=1

Navíc mají vlnovou délku \lambda (vzdálenost, po jaké se začne vlna opakovat). Vlna se šíří rychlostí v. Platí:

v=\lambda \cdot f

Vlnová délka má jednotku m, a rychlost má jednotku m/s.